Ecuaciones Diferenciales

Si me esperas para el martes las tengo resueltas.
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Saludos

Mirá, me parece que la idea del foro no es que sea un lugar donde los demás te hacen la tarea de matemáticas, economía o lo que fuera... además seguramente deberás tener a tu profesor de matemáticas y es EL quien debe aclararte las dudas o enseñarte a resolver esas ecuaciones... lo que te propongo es lo siguiente... yo te explico brevemente cómo las tenes que resolver, te brindo el algoritmo, probá haciéndolo vos y cualquier cosa pregunta alguna ¡DUDA! que te surja...
Las ecuaciones que tenés en el punto (1) son de tipo "homogéneas"... una manera corta de resolverlas es la siguiente:
1º: sustituís "Y" por "L" (escribo "L" en lugar de "lambda") y en lugar de considerar (por ejemplo) Y''- 2Y' + Y = 0 tomás L^2 - 2 L + 1 = 0 (es decir, tomás a "derivada primera" como "L a la uno", "derivada segunda" como "L al cuadrado", y así sucesivamente).
2º: Ahora resolvés la cuadrática y encontrás sus raíces --> L1 = 1 ; L2 = 1 Es importante saber que la solución es L = 1 DOS VECES, porque L es el AUTOVALOR, y la expresión de la función solución depende de CUALES sean los autovalores y de CUANTAS veces se repita cada uno de ellos.
3º: Te fijás cuáles son los autovalores y cuántas veces se repite cada uno... en este caso el autovalor es 1 y se repite dos veces, ya que L^2 - 2L + 1 = 0 se puede escribir como (L - 1)*(L - 1) = 0. Acá se ve mejor que el autovalor se repite dos veces. Ahora bien, ya podemos decir que la función Y será una combinación lineal de las siguientes funciones:
e^t y t*(e^t) ---> ¿por qué?
Forma general: si los autovalores son L1, L2, ... , Lk (números reales) que se repiten n1, n2, ... , nk veces, respectivamente, la función solución será combinación lineal de:

e^(L1*t) , t*[e^(L1*t)] , (t^2)*[e^(L1*t)] , ... , [t^(n1-1)]*[e^(L1*t)]

e^(L2*t) , t*[e^(L2*t)] , (t^2)*[e^(L2*t)] , ... , [t^(n2-1)]*[e^(L2*t)]
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e^(Lk*t) , t*[e^(Lk*t)] , (t^2)*[e^(Lk*t)] , ... , [t^(nk-1)]*[e^(Lk*t)]

4º: planteas la expresión general de la función solución. En nuestro ejemplo...
Y = a*(e^t) + b*t*(e^t) (a y b son números reales a determinar).
5º: calculas las derivadas de la función hasta el mayor grado que aparezca en la ecuación inicial, en nuestro caso es: derivada segunda.
Entonces...

Y'= (a+b)*(e^t) + b*t*(e^t)
Y''= (a+2b)*(e^t) + b*t*(e^t)

6º: planteas nuevamente la ecuación inicial, pero ahora sabiendo qué forma tienen Y, Y' e Y''.
Y'' - 2Y' + Y = [(a+2b)*(e^t) + b*t*(e^t)] -2[(a+b)*(e^t) + b*t*(e^t)] + [a*(e^t) + b*t*(e^t)] = 0

Acá se van a cancelar todos los términos con "e^t" y "t*(e^t)" y va a quedar 0 = 0. Es decir, no podemos obtener ninguna condición que tengan que cumplir a y b. Dado que te faltan las condiciones iniciales no vas a poder llegar a ninguna otra expresión de Y más que la "general", por eso te piden "Determinar la solución GENERAL de la ecuación diferencial".
7º: Si reescribiendo la ecuación inicial sabiendo las expresiones generales de Y, Y' e Y'' no nos hubiera quedado 0=0, sino... POR EJEMPLO

(a-2b)*(e^t) = 0

tenés que fijarte los coeficientes que acompañan a cada término en ambos lados de la ecuación. Acá tenemos corficientes que acompañan a (e^t) en el lado izquierdo, pero en el derecho no. Por lo tanto, se tiene que cumplir que

a-2b = 0
o sea que
a=2b

De esta manera podemos tenes una expresión "menos general" de la función solución:
Y = 2b*(e^t) + b*t*(e^t)

Igual esto que te puse es un caso especial, donde consideré a los autovalores como números reales... si hay autovalores COMPLEJOS van a tener esta forma:
L = a +(-) i*b donde i = RAIZ(-1)
De esta manera, si los autovalores son a1 +(-) i*b1, a2 +(-) i*b2, ... , aj +(-) i*bj que se repiten m1, m2, ... , mj veces, respectivamente, la función solución será combinación lineal de:

[e^(a1*t)]*[cos(b1*t)] , [e^(a1*t)]*[sen(b1*t)], t*[e^(a1*t)]*[cos(b1*t)] , t*[e^(a1*t)]*[sen(b1*t)] , ... , [t^(m1-1)]*[e^(a1*t)]*[cos(b1*t)], [t^(m1-1)]*[e^(a1*t)]*[sen(b1*t)]

[e^(a2*t)]*[cos(b2*t)] , [e^(a2*t)]*[sen(b2*t)], t*[e^(a2*t)]*[cos(b2*t)] , t*[e^(a2*t)]*[sen(b2*t)] , ... , [t^(m2-1)]*[e^(a2*t)]*[cos(b2*t)], [t^(m2-1)]*[e^(a2*t)]*[sen(b2*t)]
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[e^(aj*t)]*[cos(bj*t)] , [e^(aj*t)]*[sen(bj*t)], t*[e^(aj*t)]*[cos(bj*t)] , t*[e^(aj*t)]*[sen(bj*t)] , ... , [t^(mj-1)]*[e^(aj*t)]*[cos(bj*t)], [t^(mj-1)]*[e^(aj*t)]*[sen(bj*t)]

Y el procedimiento es el mismo de antes.