Método Montecarlo
Autoras:
Castañón Gómez Ana Karen
Martínez Pérez Iris Claudet
Pola Ochoa Hassibi Alejandra
Sánchez Zapata Gabriela Alejandra
RESUMEN
En la actualidad muchas personas no saben ¿Qué es el Método Montecarlo? ¿Cómo se aplica? ¿Para qué sirve? Entre otras interrogantes, pero sin saberlo muchos de ellos lo han aplicado en diversas situaciones de la vida cotidiana.
El método de Monte Carlo en sí, es un método no determinista o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora.
ABSTRACT
Today many people know what is the Monte Carlo method? How is it applied? What is? Among other questions, but without knowing many of them have been applied in various situations of everyday life.
The Monte Carlo method itself is not deterministic numerical or statistical method used to approximate complex and expensive mathematical expressions to accurately assess. The method was named in reference to the Casino de Monte Carlo (Monaco) as "the capital of gambling", as the roulette a simple random number generator. The name and the systematic development of Monte Carlo methods dating from about 1944 and greatly improved with the development of the computer.
MÉTODO MONTECARLO
En la actualidad muchas personas no saben ¿Qué es el Método Montecarlo? ¿Cómo se aplica? ¿Para qué sirve? Entre otras interrogantes, pero sin saberlo muchos de ellos lo han aplicado en diversas situaciones de la vida cotidiana.
Para comprender más acerca del método Montecarlo y su aplicación es indispensable conocer que es la administración de riesgos la teoría presentada por McConnell (1997) dice:
La administración de riesgos es una parte integral de las buenas prácticas gerenciales, administración de riesgos es un método lógico y sistemático de establecer el contexto, identificar, analizar, evaluar, tratar, monitorear y comunicar los riesgos asociados con una actividad, función o proceso de una forma que permita a las organizaciones minimizar pérdidas y maximizar oportunidades.
Administración de riesgos es tanto identificar oportunidades como evitar o mitigar pérdidas. Esta metodología debe ser un proceso iterativo, que posibilite una mejora continua en el proceso de toma de decisiones. (TABORDA, 2002)
Por esto podemos explicar que la administración de riesgo es el proceso por el cual la dirección de una empresa u organización administra el amplio espectro de los riesgos a los cuales está expuesto de acuerdo al nivel de riesgo al cual están dispuestos a exponerse según sus objetivos estratégicos.
La evaluación de riesgos y vulnerabilidades ayuda a identificar y evaluar los riesgos operativos, poniendo énfasis en los activos físicos y lógicos, pudiendo incluir una revisión de las instalaciones y la seguridad de los elementos lógicos y físicos.
Uno de los principales problemas en la administración de riesgos empresariales (ERM) es la implementación adecuada, considerando la percepción y realidad de los riesgos que puedan afectar a la empresa.
La implementación es compleja y puede ser complicada si no se reconoce el comportamiento e interacción de los diferentes tipos de riesgos, sino entenderse por su impacto a lo largo de los procesos.
Dicha implementación tiene relación con Gobierno Corporativo, Control Interno y Cumplimiento Regulatorio, ya que la Administración de Riesgos está relacionada con la cultura, estructura y procesos para la gestión y administración de la empresa, que le permitan potenciar oportunidades y mitigar pérdidas no esperadas.
El apetito de riesgo financiero y la tolerancia al riesgo operativo varía con la estrategia y las condiciones de la industria y sus mercados.
La Administración de Riesgos ha cambiado de ser reactiva y solo mitigar, a proactiva y ser considerada como una estrategia de negocios que forma parte del día a día.
ETAPAS DE LA ADMINISTRACION DE RIESGOS
La administración del riesgo representa un Área de Conocimiento, lo cual quiere decir que requiere de mucha atención, y además está sujeto a una serie de procesos para su identificación, valoración, mitigación y control.
Según el Project Management Institute (PMI), los cuatro procesos que involucra la administración del riesgo son:
- Identificación del Riesgo
- Cuantificación del Riesgo
- Desarrollo de Respuesta al Riesgo
- Control de Respuesta al Riesgo
IMPORTANCIA DE LA ADMINISTRACIÓN DE RIESGO
Los proyectos, por la naturaleza cambiante de su entorno, son susceptibles a situaciones de riesgo que afectan el desarrollo que se les ha planeado.
La administración de proyectos por medio de la gestión de riesgos es la disciplina encargada de identificar, analizar, priorizar y tratar los riesgos, con el objetivo de que el proyecto se concluya con el tiempo y recursos asignados.
Por medio de la gestión de riesgos se logran identificar vulnerabilidades y amenazas presentes en el contexto de la organización, y estimular las prácticas exitosas en los proyectos de software.
Una manera de mejorar la productividad y reducir los costos del proyecto es mediante una identificación y eliminación temprana de riesgos; la corrección de problemas de software implica un alto costo, que se puede evitar realizando correcciones en la fase de planeación del proyecto.
La administración de riesgos es parte integral del proceso de administración, se centra en la gestión de recursos y en determinar las actividades más significativas para el personal del proyecto.
Es un proceso que fomenta la mejora en la administración de recursos y toma de decisiones, por medio de la comunicación oportuna entre los participantes del proyecto.
El método de Monte Carlo es un método no determinista o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora. (OSCAR M. PONCE)
El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión. Esta difusión posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de Raytracing para la generación de imágenes 3D
La invención del método de Monte Carlo se asigna a Stanislaw Ulam y a John von Neumann. Ulam ha explicado cómo se le ocurrió la idea mientras jugaba un solitario durante una enfermedad en 1946. Advirtió que resulta mucho más simple tener una idea del resultado general del solitario haciendo pruebas múltiples con las cartas y contando las proporciones de los resultados que computar todas las posibilidades de combinación formalmente. Se le ocurrió que esta misma observación debía aplicarse a su trabajo de Los Álamos sobre difusión de neutrones, para la cual resulta prácticamente imposible solucionar las ecuaciones íntegro-diferenciales que gobiernan la dispersión, la absorción y la fisión. “La idea consistía en probar con experimentos mentales las miles de posibilidades, y en cada etapa, determinar por casualidad, por un número aleatorio distribuido según las probabilidades, qué sucedería y totalizar todas las posibilidades y tener una idea de la conducta del proceso físico”.
Podían utilizarse máquinas de computación, que comenzaban a estar disponibles, para efectuar las pruebas numéricas y en efecto reemplazar el aparato experimental del físico. Durante una de las visitas de von Neumann a Los Álamos en 1946, Ulam le mencionó el método. Después de cierto escepticismo inicial, von Neumann se entusiasmó con la idea y pronto comenzó a desarrollar sus posibilidades en un procedimiento sistemático. Ulam expresó que Monte Carlo “comenzó a tener forma concreta y empezó a desarrollarse con todas sus fallas de teoría rudimentaria después de que se lo propuse a Johnny”.4
Antes de que se desarrollara el método de Monte Carlo, las simulaciones probaron un problema determinista previamente entendido y muestreo estadístico se utilizó para estimar las incertidumbres en las simulaciones. Monte Carlo simulaciones invierten este enfoque, resolver problemas determinísticos usando un análogo probabilístico.
Una variante temprana del método de Monte Carlo puede ser visto en el experimento de la aguja de Buffon, en el que p puede ser estimado por la caída agujas en un piso hecho de tiras paralelas de madera. En la década de 1930, Enrico Fermi experimentó primero con el método de Monte Carlo, mientras que el estudio de la difusión de neutrones, pero no publicó nada en él.
En 1946, los físicos del Laboratorio Científico de Los Álamos están investigando blindaje contra la radiación y la distancia que los neutrones probablemente viajar a través de diferentes materiales. A pesar de tener la mayor parte de los datos necesarios, tales como la distancia media de un neutrón sería viajar en una sustancia antes de que chocó con un núcleo atómico, y la cantidad de energía que era probable que emiten después de una colisión de neutrones, los físicos de Los Álamos no pudieron resolver el problema con métodos matemáticos convencionales, deterministas. Stanislaw Ulam tuvo la idea de usar los experimentos aleatorios. Él relata su inspiración de la siguiente manera:
Los primeros pensamientos e intentos que hice a la práctica fueron sugeridas por una pregunta que se me ocurrió en 1946 cuando estaba convaleciente de una enfermedad y jugando solitarios. La pregunta era: ¿cuáles son las posibilidades de que un solitario Canfield distribuida con 52 cartas saldrán con éxito? Después de pasar un montón de tiempo tratando de estimarlos mediante cálculos combinatorios puros, me preguntaba si un método más práctico que el "pensamiento abstracto" Puede que no sea para ponerla a decir cien veces y simplemente observar y contar el número de obras de éxito. Esto ya era posible prever con el inicio de la nueva era de las computadoras rápidas, y de inmediato pensó en los problemas de difusión de neutrones y otras cuestiones de la física matemática, y más en general la manera de cambiar los procesos descritos por ciertas ecuaciones diferenciales en una forma equivalente interpretable como una sucesión de operaciones aleatorias. Más tarde, describí la idea de John von Neumann, y comenzamos a planificar cálculos reales. -Stanislaw Ulam
Siendo secreto, el trabajo de von Neumann y Ulam requiere un nombre en clave. Von Neumann eligió el nombre de Monte Carlo. El nombre hace referencia al Casino de Monte Carlo en Mónaco, donde el tío de Ulam pediría prestado dinero para jugar. Uso de listas de números aleatorios "verdaderamente aleatorios" era extremadamente lento, pero von Neumann desarrolló una forma de calcular números pseudoaleatorios, utilizando el método de cuadrados de media.
Aunque este método ha sido criticado como crudo, von Neumann era consciente de esto: lo justificó por ser más rápido que cualquier otro medio a su disposición, y también señaló que cuando salió mal lo hizo, obviamente, a diferencia de los métodos que pueden ser sutilmente incorrectas.
Métodos de Monte Carlo fueron centrales en las simulaciones necesarias para el Proyecto Manhattan, aunque muy limitado por las herramientas computacionales en el momento. En la década de 1950 que se utilizaron en Los Álamos para los primeros trabajos relacionados con el desarrollo de la bomba de hidrógeno, y se popularizó en los campos de la física, la química física y la investigación de operaciones. La Rand Corporation y la Fuerza Aérea de EE.UU., fueron dos de las principales organizaciones responsables de la financiación y la difusión de información sobre los métodos de Monte Carlo durante este tiempo, y comenzaron a encontrar una amplia aplicación en muchos campos diferentes.
Usos de los métodos de Monte Carlo requieren grandes cantidades de números aleatorios, y era el uso que estimuló el desarrollo de generadores de números pseudoaleatorios, que eran mucho más rápido de usar que las tablas de números aleatorios que se habían utilizado anteriormente para el muestreo estadístico.
EJEMPLO
Una forma de hacer pruebas de Monte Carlo es con una hoja de cálculo como Microsoft Excel. En el ejemplo presentado en el tutorial se muestra un análisis histórico de 200 días sobre consultas realizadas en un sistema de información. La tabla muestra el número de consultas diarias (de 0 a 5) junto con las frecuencias absolutas (# de días por cada frecuencia), las frecuencias relativas y las frecuencias relativas acumuladas.
Podemos interpretar la frecuencia relativa como la probabilidad de que ocurra el suceso asociado, en este caso, la probabilidad de un determinado número de consultas (así, p.e., la probabilidad de que se den 3 consultas en un día sería de 0,30), por lo que la tabla anterior nos proporciona la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta (la variable aleatoria es el número de consultas, que sólo puede tomar valores enteros entre 0 y 5).
Supongamos que queremos conocer el número esperado (o medio) de consultas por día.
Una forma directa es haciendo la operación
Valor Medio = sumatoria (#de visitas*Probabilidad de que ocurran) = 0*0,05+1*0,1+2*0,2+3*0,3+4*0,2+5*0,15=2,956
Por otro lado se puede usar una simulación Monte Carlo para deducirla. Para ello se tiene en cuenta las frecuencias relativas acumuladas de esta manera:
[0,00 a 0,05) para el suceso 0[0,05 a 0,15) para el suceso 1[0,15 a 0,35) para el suceso 2[0,35 a 0,65) para el suceso 3[0,65 a 0,85) para el suceso 4[0,85 a 1,00) para el suceso 5
El gráfico siguiente nos muestra cada una de las probabilidades sobre el número de consultas. En él, se aprecia claramente la relación existente entre probabilidad de cada suceso y el área que éste ocupa.
Esto significa que, al generar un número pseudo-aleatorio con el ordenador (proveniente de una distribución uniforme entre 0 y 1), estaremos llevando a cabo un experimento cuyo resultado, obtenido de forma aleatoria y según la distribución de probabilidad anterior, estará asociado a un suceso.
Así por ejemplo, si el ordenador nos proporciona el número pseudo-aleatorio 0,2567, podremos suponer que ese día se han producido 2 consultas.
(INSTITUTO TECNOLOGICO DE TIJUANA)
APLICACIONES DEL MODELO MONTECARLO.
Métodos de Monte Carlo son especialmente útiles para la simulación de fenómenos con incertidumbre en los insumos y sistemas con un gran número de grados de libertad acoplados. Las áreas de aplicación incluyen:
Ciencias físicas
Métodos de Monte Carlo son muy importantes en física computacional, química física y campos aplicados relacionados, y tienen diversas aplicaciones del cromo dinámico cuántica complicados cálculos para diseñar pantallas térmicas y formas aerodinámicas. En la física estadística Monte Carlo modelado molecular es una alternativa a la dinámica molecular computacional, y métodos de Monte Carlo se usan para calcular las teorías estadísticas de campo de sistemas de polímeros sencilla de partículas y. Quantum métodos de Monte Carlo a resolver el problema de muchos cuerpos para sistemas cuánticos. En la física experimental de partículas, métodos de Monte Carlo se utilizan para el diseño de detectores, la comprensión de su comportamiento y la comparación de los datos experimentales con la teoría. En astrofísica, que se utilizan en este tipo de diversas maneras para modelar tanto la evolución de las galaxias y la transmisión de la radiación de microondas a través de una superficie planetaria áspera. Métodos de Monte Carlo también se utilizan en los modelos de conjunto que forman la base de la actual predicción del tiempo.7
Ingeniería
Métodos de Monte Carlo son ampliamente utilizados en ingeniería para el análisis de sensibilidad y análisis probabilístico cuantitativa en el diseño del proceso. La necesidad surge de la conducta interactiva, co-lineal y no lineal de simulaciones de procesos típicos. Por ejemplo,
- en la microelectrónica de ingeniería, métodos de Monte Carlo se aplican a analizar las variaciones correlacionadas y no correlacionadas en los circuitos integrados analógicos y digitales.
- en geoestadística y Geometalurgia, métodos de Monte Carlo sustentan el diseño de diagramas de flujo de procesamiento de minerales y contribuyen al análisis de riesgo cuantitativo. en el análisis de rendimiento de la energía eólica, la producción de energía previsto de un parque eólico durante su vida útil se calcula dar diferentes niveles de incertidumbre
- impactos de la contaminación son simuladas y diesel en comparación con la gasolina.
- En robótica autónoma, Monte Carlo localización puede determinar la posición de un robot. Se aplica a menudo a filtros estocásticos tales como el filtro de Calman o un filtro de partículas que forma el corazón del algoritmo de SLAM.
- En la ingeniería aeroespacial, se utilizan los métodos de Monte Carlo para asegurar que múltiples partes de un ensamblaje encajan en un componente del motor.
Biología Computacional
Métodos de Monte Carlo se utilizan en biología computacional, tales como para la inferencia bayesiana en la filogenia.
Los sistemas biológicos tales como membranas de proteínas, imágenes de cáncer, están siendo estudiados por medio de simulaciones por ordenador.
Los sistemas pueden ser estudiados en los marcos initio de grano grueso o ab dependiendo de la precisión deseada. Las simulaciones por ordenador nos permiten monitorear el entorno local de una molécula en particular para ver si alguna reacción química ocurre por ejemplo. También se pueden llevar a cabo experimentos de pensamiento cuando los experimentos físicos no son factibles, por ejemplo, bonos de rotura, la introducción de impurezas en sitios específicos, el cambio de la estructura local/global, o la introducción de campos externos.
Infografía
Camino trazado, a veces denominada Monte Carlo Ray Tracing, hace una escena 3D trazando al azar muestras de posibles trayectorias de la luz. Muestreo repetido de cualquier píxel con el tiempo hará la media de las muestras para converger en la solución correcta de la ecuación de la representación, por lo que es uno de los gráficos en 3D más precisos físicamente métodos existentes de representación.
Estadística aplicada
En estadística aplicada, métodos de Monte Carlo se utilizan generalmente para dos propósitos:
Para comparar las estadísticas de la competencia para muestras pequeñas de datos en condiciones realistas. Aunque las propiedades de error de tipo I y el poder de la estadística se puede calcular de los datos extraídos de las distribuciones teóricas clásicas para condiciones asintóticas, los datos reales a menudo no tienen tales distribuciones.
Para proporcionar implementaciones de pruebas de hipótesis que son más eficientes que las pruebas exactas tales como pruebas de permutación y ser más precisos que los valores críticos de las distribuciones asintóticas.
Métodos de Monte Carlo son también un compromiso entre la aleatorización aproximadas y pruebas de permutación. Una prueba de aleatorización aproximada se basa en un subconjunto especificado de todas las permutaciones. El método de Monte Carlo se basa en un número especificado de permutaciones extraídos aleatoriamente.
Diseño y visuales
Métodos de Monte Carlo también son eficientes en la solución de ecuaciones diferenciales acopladas integrales de los campos de radiación y el transporte de energía, y por lo tanto estos métodos han sido utilizados en los cálculos de iluminación global que producen imágenes foto-realistas de modelos virtuales en 3D, con aplicaciones en los videojuegos, la arquitectura, el diseño, películas y efectos especiales cinematográficos generados por ordenador.
Finanzas y negocio
Métodos de Monte Carlo en finanzas a menudo se utilizan para calcular el valor de las empresas, para evaluar las inversiones en proyectos en una unidad de negocio o nivel corporativo, o para evaluar los derivados financieros. Pueden ser utilizados para los programas del proyecto de modelo, donde las simulaciones se agregan las estimaciones para el peor de los casos, el mejor de los casos, y lo más probable duración de cada tarea para determinar los resultados para el conjunto del proyecto.
Telecomunicaciones
Cuando se planifica una red inalámbrica, el diseño debe ser probado para trabajar para una amplia variedad de escenarios que dependen principalmente del número de usuarios, su ubicación y los servicios que desea utilizar. Métodos de Monte Carlo se utilizan típicamente para generar estos usuarios y sus estados. El rendimiento de la red se evaluó a continuación y, si los resultados no son satisfactorios, el diseño de la red pasa a través de un proceso de optimización.
Utilizar en matemáticas
En general, los métodos de Monte Carlo se utilizan en las matemáticas para resolver diversos problemas mediante la generación de números aleatorios adecuados y la observación de que la fracción de los números que obedece a alguna propiedad o propiedades. El método es útil para la obtención de soluciones numéricas a problemas demasiado complicados para resolver analíticamente. La aplicación más común del método de Monte Carlo es la integración Monte Carlo.
Integración
Algoritmos de integración numérica deterministas funcionan bien en un pequeño número de dimensiones, pero encontrarse con dos problemas cuando las funciones tienen muchas variables. En primer lugar, el número de evaluaciones de la función necesarios aumenta rápidamente con el número de dimensiones. Por ejemplo, si 10 evaluaciones proporcionan una precisión adecuada en una dimensión, a continuación, se necesitan 10.100 puntos por 100 dimensiones-demasiados para ser calculado. Esto se conoce como la maldición de la dimensionalidad. En segundo lugar, el límite de una región multidimensional puede ser muy complicado, por lo que no puede ser factible para reducir el problema a una serie de integrales unidimensionales anidados. 100 dimensiones no son en absoluto inusual, ya que en muchos problemas físicos, una "dimensión" es equivalente a un grado de libertad.
Métodos de Monte Carlo proporcionan una manera de salir de este aumento exponencial de tiempo de cálculo. Mientras la función en cuestión está razonablemente bien comportado, se puede estimar mediante la selección aleatoria 100 puntos en el espacio tridimensional, y teniendo algún tipo de promedio de los valores de la función en estos puntos. Por el teorema del límite central, este método muestra la convergencia, es decir, cuadruplicar el número de puntos de muestra reduce a la mitad el error, sin importar el número de dimensiones.
Un refinamiento de este método, conocido como muestreo de importancia en las estadísticas, implica el muestreo de los puntos al azar, pero con más frecuencia donde el integrando es grande. Para ello, precisamente, uno tendría que saber ya la integral, pero se puede aproximar la integral por una integral de una función similar o usar rutinas de adaptación, tales como el muestreo estratificado, muestreo estratificado recursivo, el muestreo adaptativo paraguas o el algoritmo VEGAS.
Un enfoque similar, el método cuasi-Monte Carlo, utiliza secuencias de baja discrepancia. Estas secuencias de "llenar" la zona mejor y degustar los puntos más importantes con más frecuencia, por lo que los métodos cuasi Monte Carlo a menudo pueden converger en el integrante más rápidamente.
Otra clase de métodos para el muestreo de puntos en un volumen es simular paseos aleatorios sobre ella. Tales métodos incluyen el algoritmo de Metropolis-Hastings, el muestreo Gibbs y el algoritmo de Wang y Landau.
Matemática Computacional
Métodos de Monte Carlo son útiles en muchas áreas de la matemática computacional, donde una "opción afortunada" se puede encontrar el resultado correcto. Un ejemplo clásico es el algoritmo de Rabin para las pruebas de primalidad: para cualquier n no es primo, una aleatoria x tiene al menos un 75% de posibilidades de probar que n no es primo. Por lo tanto, si n no es primo, pero x dice que puede ser que sea, hemos observado a lo sumo un 1 en 4 eventos. Si 10 x diferentes al azar dicen que "n es probablemente prime" cuando no lo es, se ha observado un uno en un millón evento. En general, un algoritmo de Monte Carlo de este tipo produce una respuesta correcta con una garantía de n es compuesto, y x demuestra que sí, pero otra sin, pero con una garantía de no obtener esta respuesta cuando se está mal con demasiada frecuencia, en este caso como máximo el 25% del tiempo. Véase también Las Vegas por un algoritmo relacionado, pero diferente, idea. (E-CENTRO)9
Conclusión.
El método de Montecarlo fue creado por investigadores estadounidenses para resolver problemas físicos y químicos en la realización de la bomba atómica para la cual se empleó durante la Segunda Guerra Mundial. Después de esto el modelo fue empleado para la resolución de múltiples problemas matemáticos con exitosos resultados.
La importancia actual del método Montecarlo se basa en la existencia de problemas que tienen difícil solución por métodos exclusivamente analíticos o numéricos, pero que dependen de factores aleatorios o se pueden asociar a un modelo probabilística artificial (resolución de integrales de muchas variables, minimización de funciones, etc.). Gracias al avance en diseño de los ordenadores, cálculos Montecarlo que en otro tiempo hubieran sido inconcebibles, hoy en día se presentan como asequibles para la resolución de ciertos problemas.
Este método es aplicable para cualquier tipo de problema ya sea determinístico o estocásticos empleado en problemas complejos que solamente se pueden resolver por programas de computadora, así como problemas simples que se resolverán a mano sin tanta dificultad.
Trabajos citados
E-CENTRO. (s.f.). Recuperado el NOVIEMBRE de 2014, de http://centrodeartigo.com/articulos-utiles/article_100105.html
INSTITUTO TECNOLOGICO DE TIJUANA. (s.f.). SLIDESHARE. Recuperado el NOVIEMBRE de 2014, de http://es.slideshare.net/krizx/metodo-montecarlo
OSCAR M. PONCE. (s.f.). Recuperado el NOVIEMBRE de 2014, de http://centrodeartigo.com/articulos-utiles/article_100105.html
TABORDA, E. R. (2002). ADMINISTRACION DE RIESGO.
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Autoras:
Castañón Gómez Ana Karen
Martínez Pérez Iris Claudet
Pola Ochoa Hassibi Alejandra
Sánchez Zapata Gabriela Alejandra
Iris Claudet Martínez Pérez "Método Montecarlo" [en linea]
Dirección URL: https://www.zonaeconomica.com/metodo-monte-carlo (Consultado el 23 de Dic de 2024)
