Factores que minimizan los costos

Question

Hola.
Tengo varias dudas que no son tal, pero es para dejar claro algunos temas que andan por mi cabeza. Decir que aunque para vosotros muchas cosas sean obvias para mí no lo son, muchos ya estáis licenciados y yo aún estoy en primero. Bien vamos con el tema que nos atañe.

1º Sabemos que en el L/P: PML/PMK=w/r que equivale a decir: PML/w=PMK/r

Partiendo de aquí podemos construir la función de costes a largo plazo. Siempre y cuando se cumpla esa igualdad, ¿verdad?

Para minimizar los costes de un nivel de producción Q, lo podemos hacer gráficamente como el punto donde la recta isocoste (¿siempre es una recta?) corta la isocuanta.

Otra forma sería por ejemplo la siguiente:

Q=4L^(1/2)*K^(1/2) w=40 r=10

PmL/PmK=w/r => K=4L

Sustituimos K en la función de producción y hallamos el punto en el cual obtenemos Q con un coste mínimo K* Y L*, ¿correcto?

2º ¿Esa misma condición puede ser usada en el C/P? Sí, ¿verdad?

Al realizar PML/w=PMK/r si por ejemplo ocurre que la igualdad no se cumple, es decir PML/w>PMK/r entonces, no contrataremos nada del factor K y contrataremos sólo factor L ¿correcto?

3º Para comprobar el tipo de rendimientos que presenta una función se duplican sus factores y atendiendo a la variación de Q la clasificamos como: R. Constantes de escala, crecientes o decrecientes.

La duplicación de los factores en este caso sería:

K^(1/2)L^(1/2)=Q => (nK)^(1/2)(nL)^(1/2)=nQ, ¿correcto?

Esto sería erróneo: nK^(1/2)*nL^(1/2)=n^2Q

Por favor, si explicáis algo, que sea de forma clara y sencilla.

Muchísimas gracias, poco a poco, estáis ayudándome a disipar lagunas que tengo. Gracias.

Answer 1

La solución del productor se da donde w/r = PML/PMK: ecuación (1,
pero honestamente hasta ahora reflexiono si es lo mismo para el largo plazo y el corto plazo, ahora que lo pienso que no creo que haya una solución distinta para cada plazo, pues el largo plazo lo que implica es la posibilidad de una expansión en la capacidad de producción mediante una mayor contratación de factores.

Recuerda que la condición de equimarginalidad ..(1 es la expresión matemática que coincide con la descripción gráfica que señala que cuando la recta de isocostes y la isocuanta son tangentes se alcanza el punto óptimo de producción, donde se utilizan los factores de la manera más eficiente posible (pues se alcanza el mayor nivel de producción), al menor costo.

De tu pregunta de si la recta de isocostes sólo puede ser recta, analízalo tú mismo. Estás hambriento de conocimientos pero ve con calma ya tendrás tiempo para desarrollar tu intelecto de formas productivas porque nosotros al igual que las empresas con el tiempo podemos expandir nuestra productividad.

En la pregunta de cuando no se cumple la condición de equimarginalidad 1, tienes que ayudarte de las soluciones gráficas, ¿qué pasa si la isocuanta corta a la de isocostes? pues no nos hallamos en la solución más productiva posible y aún es posible ajustar las cantidades óptimas de capital y trabajo.

Si PML/w > PMK/r entonces PML/PMK > w/r lo que implica que el cociente de productividades (RMST) y la relación de precios de factores te indican que ajustando las cantidades contratadas de factores puedes alcanzar una mayor producción y hallarás la mayor producción cuando se cumpla la igualdad.

Otra interpretación del punto que señalas donde PML/PMK > w/r es que la productividad del trabajo por peso gastado en trabajo (PML/w) es mayor a la del capital, si PML/w = 4 y la PMK/r = 3 significa que por cada peso gastado en trabajo se reciben 4 unidades de producto y 3 unidades derivadas del uso de capital, si el trabajo es mas productivo por peso gastado resulta conveniente sustituir capital por trabajo, es decir, contratar más trabajo y reducir la contratación de capital, moviéndonos sobre la línea de isocostes, alterando la contratación de factores sin alterar el costo total de producción y si incrementando la producción pues las isocuantas más alejadas del origen representan mayor producción.

El caso donde se deja de contratar un factor de la producción es cuando los factores son sustitutos perfectos y eso implica una isocuanta que es recta (Q=L+K) y no una curva convexa al origen como en el caso de la Cobb Douglass (Q=KL).

Comments

¿Entonces la condición de equimarginalidad se puede usar indistintamente tanto en el C/P como en el L/P?

Yo para construir la FUNCION COSTES a C/P hago lo siguiente: extraigo de f(Q) los requerimientos de L y K (o cualquier otro factor que sea, me es indiferente). Sustituyo de forma independiente L y K en la f(Q) para que los requerimientos de L y K queden en función de Q.

Una vez los tengo en función de Q, los multiplico cada uno por su coste: CT=wL+rK y eso son los costes a C/P.
¿Cómo los minimizo? la única forma que se me ocurre es usar PML/PMK=w/r (o expresada de cualquier otra forma) también cortando algebraicamente (gráficamente no me gusta al menos que tenga el apoyo de un portátil, soy muy mal dibujante y no me fio de lo que pinto xD) la recta isocoste con la isocuanta.

Si tengo que los rendimientos de un factor son mayores que otro, es decir, no se cumple la igualdad pues contrato únicamente ese factor, el más productivo en f(Q) del tipo f(Q)= L+K pero, si son del tipo f(Q)=LK, ¿cómo hago? es decir, para que la producción no se reduzca a cero por la inexistencia de un factor tendré que como mínimo contratar una unidad del factor menos productivo por cada 1€ empleado en él.

PARA CONSTRUIR LOS CT l/p:

1º Equimarginalidad. Estos serían los requerimientos a L/P, pero expresados un factor en función de otro, ¿correcto?
2º Su resultado es reemplazado en f(Q), de ahí hallo los requerimientos a L/P de cada uno de los factores en función de Q.
3º CT=wL+rK y listo.

¿Estaría bien?

Otra duda:

En el largo plazo, CMA y CTME con rendimientos de escala coincide, y con economías de escala o deseconomías se cortan en el punto mínimo del CTME. Sería ese el nivel Q óptimo en el L/P, ¿verdad?.

Sacberis usted a escrito lo siguiente:

"En la pregunta de cuando no se cumple la condición de equimarginalidad 1, tienes que ayudarte de las soluciones gráficas, ¿qué pasa si la isocuanta corta a la de isocostes? pues no nos hallamos en la solución más productiva posible y aún es posible ajustar las cantidades óptimas de capital y trabajo."

Mi pregunta es: si la isocuanta corta a la recta isocoste, ¿no tenemos en nivel de Q óptimo con el mínimo coste de los factores?

En lo referente al comentario de ir con calma y aprender con calma estoy de acuerdo, pero no creo que vaya demasiado rápido, verás, yo voy todos los días a la biblioteca, ahora en septiembre tenemos exámenes y conforme me surgen dudas en la biblioteca, dudas que no tengo en apuntes o no las entiendo en los manuales o no vienen explicadas pues las posteo aquí con la esperanza de que algún forero me las resuelva.

Además, la competencia por esta zona (España) es mortal... somos demasiados xD....

Muchas gracias por toda la ayuda que me estáis prestando...

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"¿Entonces la condición de equimarginalidad se puede usar indistintamente tanto en el C/P como en el L/P?

Yo para construir la FUNCION COSTES a C/P hago lo siguiente: extraigo de f(Q) los requerimientos de L y K (o cualquier otro factor que sea, me es indiferente). Sustituyo de forma independiente L y K en la f(Q) para que los requerimientos de L y K queden en función de Q.

Una vez los tengo en función de Q, los multiplico cada uno por su coste: CT=wL+rK y eso son los costes a C/P.
¿Cómo los minimizo? la única forma que se me ocurre es usar PML/PMK=w/r (o expresada de cualquier otra forma) también cortando algebraicamente (gráficamente no me gusta al menos que tenga el apoyo de un portátil, soy muy mal dibujante y no me fio de lo que pinto xD) la recta isocoste con la isocuanta."

La condición de equimarginalidad es válida para el corto y el largo plazos. La diferencia entre el corto y el largo plazo es que el primero implica que sólo un factor de la producción es variable y el otro fijo. En el largo plazo, los dos factores son variables. Esta diferencia es, desde mi humilde opinión, una manera de representar uno de los aspectos de la producción. Es decir, desde el corto plazo es posible que los dos factores sean variables pero con fines didácticos se realiza esta diferenciaciòn que refleja lo siguiente. El aprendizaje que se realiza al interior de la compañìa es gracias a la producciòn, pues existen procedimientos que sólo pueden entenderse y mejorarse con la prueba y el error. Aunado a lo anterior, con el tiempo en que se realiza la producción es posible estudiar el comportamiento del consumidor objetivo y de las otras compañìas que compiten en el mercado. Con este aperndizaje es posible reducir la incertidumbre que significan las inversiones y por ello los inversores estàn màs inclinados a aportar el dinero que permita obtener màs factores para incrementar la producciòn, alcanzando una isocuanta màs alejada, lo cual significa también alcanzar una recta de isocostes màs alejada al origen.

Pienso que para que puedas profundizar en el entendimiento de la teorìa del productor es necesario que distingas cuales son los datos que te da el entorno y cuáles son las incògnitas. El Costo total y los precios de los factores son datos, pues los precios se encuentran en el mercado laboral y en el mercado de capitales. Respecto al costo total, en el marco de la teoría del productor, es un dato pues para dibujar la recta de isocostes es necesario que el costo total sea fijo y predeterminado y lo que genera la recta son las distintas combinaciones de factores de la producción que al comprarse al precio de mercado resultan en una erogación total que se predeterminó. Ahora, las incógnitas son las cantidades de factores que hay que contratar para alcanzar el punto más eficiente dada la tecnología de producción.

El punto òptimo de contrataciòn de factores no es donde se cortan la recta de isocostes con la isocuanta sino donde son tangentes. Es decir, donde la pendiente de la isocuanta (RMST) es igual a la pendiente de la recta de isocostes (w/r).

Cuando encuentras RMST = w/r lo que implicitamente estàs haciendo es calcular las funciones de demanda de factores.

En el ejercicio que presentaste la soluciòn es así:

K/L = w/r .... (2

Esa es la expresiòn simplificada del punto de equimarginalidad pero no es suficiente para encontrar la soluciòn. Para hallar la solución puedes sustituir el valor de K (de la ecuaciòn 2) en la restricciòn de costos:

K = wL/r

CT = (wL/r)*r+wL

Si resuelves esta ecuación para L (despeja L para que quede una ecuación en función de CT,w y r) y así obtienes la cantidad demandada òptima de L en función del CT, de w y de r. Todos los cuales son datos. CT es el nivel màximo de gasto permitido y w,r son los precios de mercado de los factores. Entonces, esa ecuación resuelve cuàl es la cantidad óptima de L que permite alcanzar el máximo nivel de producción sujetos a la restricciòn de costos. Si este proceso te da L* de la ecuación 2 puedes calcular el nivel óptimo de K es decir K*. Con (K*,L*) calculados procedes a determinar la producción eficiente u óptima Q* = f(K*,L*)

"Yo para construir la FUNCION COSTES a C/P hago lo siguiente: extraigo de f(Q) los requerimientos de L y K (o cualquier otro factor que sea, me es indiferente). Sustituyo de forma independiente L y K en la f(Q) para que los requerimientos de L y K queden en función de Q".

Cuando tú has encontrado K* y L* éstas cantidades estarán en función de CT,w y r:
K*=f(CT,r) L*=f(CT,w) De acuerdo al mètodo que utilicé no veo donde puedes tener K y L en función de Q, supongo que se puede hacer pero no lo he meditado. Pero sospecho que tienes una confusión cuando dices que L y K quedarán en función de Q, eso implicaría hallar una expresión donde la demanda del factor dependa de la producción objetivo. Algo asi:
K* = f(Q) Lo cual me parece que es posible pero no estoy seguro de ello. Recuerda que la función de demanda de cualquier bien o servicio depende del ingreso y de el precios del bien. Por ello K* es función de CT y de r, el CT es en este caso el ingreso que tiene la firma para disponer para la compra de capital al precio de mercado del capital (r).

Minimización de costos.

Haz algo en excel, cálcula las combinaciones de capital y trabajo que dibujan una isocuanta: K,L para el mismo nivel de Q. En seguida dale precio a los factores y calcula el costo total para cada combinación de factores sobre la isocuanta. De esa forma verás que el costo total mínimo corresponde al punto donde la RMST = w/r.

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Hola, el ejercicio en cuestión que presento sólo lo expondré de forma parcial, básicamente donde tengo urgen dudas.

ENUNCIADO:

Una empresa se dedica a la fabricación de motores para helicópteros. Para ello utiliza dos factores productivos: máquinas y trabajadores. La tecnología se representa por medio de la función de producción q=K^(1/2)*L^(1/2), donde q es el número de motores que se producen al mes, K es el número de máquinas y L el número de trabajadores. El coste de cada máquina es de 100€/mes (r=100€) y el salario mensual pagado a cada trabajador es de 400€/mes (w=400€).
(lo que yo voy a preguntar no lo pregunta el ejercicio, pero lo hice a modo de ampliación, pondré directamente resultado en las operaciones sencillas para ahorrar tiempo)
a)
Suponga que a corto plazo k=4. Calcule el CTMe y el CMa y haga la representación grafica de los mismos.
Sería una situación al C/P
CMa=200q CT=100q^2+400 CTMe=100q+(400/q)

Representación:(he intentado subir las imágenes al foro, pero no he podido)
http://img198.imageshack.us/img198/9324/graficascostescp13rel2.jpg
Con un K=4 los requerimientos al c/p serían de L=q^2/4

¿Esto sería la isocuanta para un volumen q cualquiera con un K=4, no?

Pero en esta situación, si me piden minimizar costes ¿cómo lo hago? Es decir, no puedo hacer el PMK ya que es cero, la condición no se cumpliría, además, el K es fijo. Sólo podría contratar L en función del nivel de producción sin minimizar costes.

La condición de equimarginalidad tendría sentido al c/p si la empresa aún no se ha constituido, en ese momento se podrían elegir las cantidades óptimas que minimizan los costes.

AHORA VOY A HACERLO PARA EL L/P (Sacberis aquí muestro como despejo los factores en función de la producción, no sé si los cálculos son los más adecuados o si se podría simplificar)

Tenemos que: q=K^(1/2)*L^(1/2) donde w=400€/mes y r=100€/mes.
La condición de equimarginalidad nos da un resultado tal que K=4L que equivale a decir L=k/4

De la función de producción y exclusivamente de ella despejo uno de los dos factores ya que es la única forma que conozco de poder representar la isocuanta.

La cosa queda tal que así: K=q^2/L

Por otro lado, con el resultado que he obtenido en la condición de equimarginalidad , que serán las cantidades óptimas a contratar al l/p o al c/p sin la empresa aún no ha tomado decisiones significativas sobre los factores (ya ha contratado etc.), los sustituyo en la función de producción para hallar las cantidades óptimas en función de un nivel cualquiera de producción (no conozco otro método)

Requerimientos o como tú las llamas funciones de demanda de los factores de producción:
L=q/2 K=2q

Ahora construyo la función de costes a l/p, queda tal que así: CT=400q (esta la creo para poder saber el nivel de costes al que la empresa se enfrentará cuando fije la producción y poder saber así como minimizo los costes para ese nivel) que equivale a decir 400L+100K=CT (aquí está en función de los factores productivos)

Ahora supongo que la empresa por los motivos que quiera que sean decide producir q=20 entonces tenemos:

CT=8000 um (demostrable a través de ambas funciones de costes)

Sabiendo esto hago los siguiente: 400L+100K=CT? 400l+100k=8000

Despejo K=(8000-400L)/100 (esto yo lo interpreto como la Recta Isocoste) y esta es igualada a la isocuanta K=q^2/L? K=400/L

L=10 y K=40

Representación:

http://img110.imageshack.us/img110/1497/13ampliacin.jpg

Ante todo muchas gracias, sé que lo que he puesto esta expresado un tanto lioso, pero he intentado explicarme lo mejor que he podido, por favor, ser breves y directos en vuestras respuestas.

GRACIAS!!!

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Para minimizar costos tienes que plantear el problema del productor de esta forma

Min CT = wL+rK
sa Q*=f(K,L)

donde Q* es un valor fijo de producción y por tanto está dado, y tienes que encontrar los valores de K y L que minimizan el CT sujeto a la restricción que te impone un valor fijo de producción que puede realizarse con distintas combinaciones de K y L.