En economía, una función de producción representa la relación que existe entre la cantidad producida en un proceso productivo y la cantidad de insumos utilizados en ese proceso. Entonces tenemos que:

Q=f(L,K)

Donde Q es la cantidad de producto y L y K la cantidad de factores utilizados, por ejemplo, trabajo y capital.

La función de producción Cobb-Douglas es un tipo de función de producción ampliamente utilizada, debido a que, como veremos mas adelante, cumple con ciertas condiciones que hacen que sea muy útil.

La forma de la función de producción Cobb-Douglas es la siguiente:

Q(K,L) = A L^β K^α

Donde:
- Q es la cantidad de productos
- L la cantidad de trabajo, por ejemplo, valor de horas de trabajo anual
- K la cantidad de capital, por ejemplo, valor de horas de trabajo de la maquinaria
- A,β y α son constantes positivas
- β y α son menores que 1

Gráficamente

Productividad Marginal

La productividad marginal es el cambio en la producción, ante cambios en la cantidad de insumos. La productividad marginal es la derivada primera de la función de producción respecto a algún insumo:

∂Q/∂L

En el caso de la función de producción Cobb-Douglas

∂Q/∂L = Aβ L^(β-1) K^α

Vemos que si L o K se incrementan, también lo hará la cantidad de producción. Esto significa que el rendimiento marginal de los insumos es positivo. La productividad marginal es positiva.

Gráficamente

Producto de L (K está fijo)

Producto Marginal de L

Elasticidad de la Producción

La elasticidad de la producción mide la variación porcentual de la producción ante cambios en la cantidad de insumos utilizados.

(∂Q/Q) / (∂L/L) = (∂Q/∂L) / (Q/L)

Si la elasticidad es mayor que uno, la función de producción es elástica y viceversa. En el caso de la función de producción Cobb-Douglas, la elasticidad de la producción se puede medir fácilmente:

(∂Q/Q) / (∂L/L) = (∂Q/∂L) / (Q/L)

= [ Aβ L^(β-1) K^α ] / [ A L^β K^α / L ]

= [ Aβ L^(β-1) K^α ] / [ A L^(β-1) K^α ]

= β

Esto significa que la elasticidad de la producción respecto al trabajo es β. Este valor es constante. Si β es igual a 0.20 y el trabajo se incrementa en un 10%, la producción aumentará en un 2%.

De forma similar, puedes verificar que la elasticidad de la producción respecto al capital es α.

Retornos a Escala

Mide la variación en la producción ante cambios similares en la cantidad de trabajo y capital. Todos los factores se incrementan en la misma proporción. Si, ante un cambio proporcional en todos los insumos, la producción aumenta mas que proporcionalmente, hablamos de retornos crecientes a escala, y si aumenta menos que proporcionalmente, hablamos de retornos decrecientes a escala.

En el caso de la función de producción Cobb-Douglas, multiplicamos la cantidad de insumos por una constante c que mide la variación de los insumos. Y' representa el nuevo nivel de producción:

Y' = A (cL)^β (cK)^α

= A c^β L^β c^α K^α

= A c^(β + α) L^β K^α

= c^(β+α) Y

Vemos que, ante un cambio de c en la cantidad de factores utilizados, la producción se incrementa en c^(β+α).

Entonces:

Si:
(β+α) = 1 ; la función de producción tendrá retornos a escala constantes
(β+α) > 1 ; la función de producción tendrá retornos a escala crecientes
(β+α) < 1 ; la función de producción tendrá retornos a escala decrecientes

Resumiendo:
La función de producción Cobb-Douglas tiene:
- productividad marginal positiva decreciente
- elasticidad de producción constante e igual a β para el trabajo y α para el capital
- rendimientos marginales decrecientes.
- retornos a escala constantes, que dependen de la suma (β+α)

Autor: Lic. Federico Anzil